Riassunti VERIFICATO
Teoremi e Dimostrazioni
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Di cosa parla
- Formula di De Moivre: per z = r[cosθ₁ + i sinθ₁] e w = s[cosθ₂ + i sinθ₂], z · w = rs[cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂)]
- Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: |u·v| ≤ ||u|| · ||v||, per tutti u, v ∈ V; dimostrazione tramite appartenenza a un insieme non negativo
- Rappresentazione matriciale delle applicazioni lineari: dato vettore v = x₁u₁ + ... + xₙuₙ, con L(u) = y₁v₁ + ... + yₘvₘ, allora esiste A tale che y = Ax
- Determinante e sue proprietà: definizione per n=2,3; scambio di righe/colonne, righe/cOLONNE uguali, aggiunta combinata lineare
- Inversa di una matrice: se det(A) ≠ 0, allora A⁻¹ = (1/det(A))Aᵀ, dove Aᵀ è la matrice trasposta e i complementi algebrici sono coinvolti
- Teorema nullità più rango: dim(ker(L)) + dim(Im(L)) = n per L : Vₙ → Vₘ applicazione lineare
- Condizione di diagonalizzabilità in termini di autovalori: A è diagonalizzabile se ha un insieme di autovettori linearmente indipendenti, con matrice diagonale e S invertibile
- Teorema di Bolzano-Weierstrass: ogni sottoinsieme limitato e infinito in Rⁿ ammette almeno un punto di accumulazione
- Numeri e: successione (1 + 1/n)ⁿ che converge a e
- Teorema degli zeri: se f:[a, b] → R è continua e f(a)f(b) < 0, allora esiste c ∈ [a, b] tale che f(c) = 0
- Algebra delle derivate: regole di derivazione per somme, prodotti, rapporti (con x₀ ≠ 0)
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