Appunti VERIFICATO
Formulario per limiti con sviluppi di Mac-Laurin
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Di cosa parla
- Limiti notevoli goniometrici:
- \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)
- \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\)
- \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0\)
- \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1\)
- \(\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1\)
- \(\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1\)
- \(\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} = 1\)
- \(\lim_{x \to 0} \frac{\cosh x - 1}{x^2} = \frac{1}{2}\)
- \(\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x} = 1\)
- Limiti notevoli esponenziali e logaritmici:
- \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1\)
- \(\lim_{x \to 0} \frac{\log_a(1 + x)}{x} = \frac{1}{\ln a}\)
- \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\)
- \(\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a\)
- \(\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^k - 1}{x} = k\)
- \(\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e\)
- \(\lim_{x \to \pm\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\)
- Sviluppi di Taylor-McLaurin:
- \(\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+ 1)!} + o(x^{2n+2})\)
- \(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1})\)
- \(\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots + o(x^8)\)
- \(\arcsin x = x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{3}{8} \cdot \frac{x^5}{5} + \cdots + \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \frac{x^{2n+1}}{2n+ 1} + o(x^{2n+2})\)
- \(\arccos x = \frac{\pi}{2} - x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{3}{8} \cdot \frac{x^5}{5} - \cdots - \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \frac{x^{2n+1}}{2n+ 1}
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