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cardinalità_richiami per corso prof: Bramanti
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Il documento introduce la cardinalità degli insiemi tramite le corrispondenze biunivoche, sia per insiemi finiti sia per insiemi infiniti. Distingue gli insiemi numerabili, come i naturali, gli interi e i razionali, dagli insiemi non numerabili, come l'intervallo [0,1] e i reali, che hanno la cardinalità del continuo. Tratta poi il confronto tra cardinalità, la gerarchia infinita data dall'insieme delle parti, l'ipotesi del continuo e, infine, la separabilità degli spazi di funzioni.
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- Si definisce l'uguaglianza di cardinalità tramite una corrispondenza biunivoca, mostrando con esempi finiti come il confronto di numerosità possa avvenire senza contare, e si osserva che un insieme infinito è in corrispondenza biunivoca con un proprio sottoinsieme proprio.
- Si dimostra che l'insieme dei naturali è in corrispondenza biunivoca con i suoi sottoinsiemi propri e con gli interi relativi, quindi è numerabile, e che anche l'insieme dei razionali è numerabile, tramite un criterio di disposizione delle frazioni in successione.
- Si dimostra con un argomento diagonale che l'intervallo [0,1] non è numerabile, da cui segue che R non è numerabile; ogni intervallo non ridotto a un punto ha la cardinalità di R, detta cardinalità del continuo.
- Si definisce la relazione di cardinalità minore e si mostra che il numerabile è la cardinalità infinita più piccola, con i risultati su unioni e prodotti cartesiani di insiemi numerabili o continui.
- Si introduce la gerarchia delle cardinalità: l'insieme delle parti di un insieme ha sempre cardinalità maggiore dell'insieme stesso, quindi la scala non ha limite superiore, e R ha la cardinalità di P(N).
- Si discute l'ipotesi del continuo, secondo cui non esistono cardinalità intermedie tra quella numerabile e quella del continuo, e si spiega che è formalmente indecidibile nella teoria assiomatica degli insiemi di Zermelo-Fraenkel.
- Si definisce lo spazio separabile come spazio metrico con un sottoinsieme denso numerabile e si osserva che, pur avendo gli spazi di funzioni cardinalità non numerabile, alcuni di essi contengono un sottospazio numerabile che approssima bene qualsiasi elemento.
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