Compiti ed esercitazioni VERIFICATO

Prima prova di autovalutazione esercizi per corso prof: Tanelli

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Di cosa parla

Il movimento forzato dell’uscita di un sistema LTI asintoticamente stabile tende a zero.
Se un sistema LTI a tempo continuo è asintoticamente stabile allora ammette un solo stato di equilibrio.
Un sistema LTI a tempo continuo di ordine 5 con equazione caratteristica \(s^5+4s^4+2s^3+8s^2+3s+7=0\) è asintoticamente stabile.
Un sistema LTI a tempo continuo di ordine 3 con equazione caratteristica \(s^3+3s^2+3s+(1+k)=0\), con k parametro reale, è asintoticamente stabile se e solo se \(k>8\).
In un sistema LTI con equazioni \(\dot{x_1}(t)=-x_1(t)+2x_2(t)+u(t)\), \(\dot{x_2}(t)=3x_2(t)+2u(t)\), \(y(t)=x_2(t)\) il movimento dell’uscita con condizioni iniziali \(x(0) = [1,1]^T\) e \(u(t)=u= 1\) è pari a \(\frac{4}{3}e^{3t}-\frac{2}{3}e^{-t}+1\).
Un sistema non lineare TI con equazioni \(\dot{x_1}(t)=2\rho^3x_1^3(t)+2x_2(t)u(t)\), \(\dot{x_2}(t)=-x_2(t)+u(t)\), \(y(t)=x_2(t)\), con \(\rho\) reale, tale che \(\rho\neq 0\), e con \(u(t)=u= 1\) ha un movimento di equilibrio asintoticamente stabile per \(\rho>0\) e instabile per \(\rho<0\).
Il sistema non lineare e TI scalare, di cui in figura si rappresenta \(\dot{x}=f(x,u)\), con \(c\) costante, in funzione di \(x\) ammette almeno uno stato di equilibrio asintoticamente stabile. La regione di attrazione di tale stato di equilibrio è data da \([-2,3]\).

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