Compiti ed esercitazioni VERIFICATO
Esercizi su variabili aleatorie continue e discrete
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Esplora concetti chiave di statistica per l'esame di Statistica 1 (Università di Firenze, Newbold et al. capp. 5-6). Vengono trattati temi fondamentali come variabili casuali discrete e continue, indipendenza, valore atteso, varianza, covarianza e coefficiente di correlazione. Il documento include esercizi sulla distribuzione binomiale e normale, calcolo di probabilità condizionate e non, proprietà delle trasformazioni lineari di variabili casuali e interpretazione delle distribuzioni di probabilità. Ideale per la preparazione all'esame, focalizzato sull'applicazione pratica delle formule e dei principi statistici.
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- Variabili Casuali e Indipendenza: Vengono esaminate le proprietà fondamentali delle variabili casuali indipendenti, inclusi il valore atteso (E) e la varianza (Var) di combinazioni lineari. Si distinguono le uguaglianze vere e false relative a Covarianza (Cov) e Var(X-Y) quando le variabili sono indipendenti.
- Distribuzioni di Probabilità:
- Distribuzione Ipergeometrica/Binomiale: Calcolo della probabilità di eventi in campionamenti senza reimmissione o in contesti binomiali (es. probabilità di successo per un dato numero di eventi).
- Distribuzione Discreta: Determinazione di probabilità cumulative (P(X ≥ x), P(a < X < b)) e calcolo del valore atteso (E[X]) da una tabella di distribuzione.
- Distribuzione Normale: Calcolo di probabilità P(a < X < b) per variabili normali e standardizzazione Z-score (trovare un valore c per una data area sotto la curva).
- Misure di Associazione e Relazione Lineare:
- Calcolo del coefficiente di correlazione (ρ) a partire da covarianza e varianze (σ²x, σ²y).
- Interpretazione dell'associazione lineare tra variabili casuali (es. debole/forte, positiva/negativa) basata su Cov(X,Y), Var(X), Var(Y) ed E(XY).
- Tipologie di Variabili: Distinzione tra variabili casuali discrete (es. numero di mucche) e continue.
- Trasformazioni Lineari: Proprietà del valore atteso e della deviazione standard per trasformazioni lineari (es. Y = a + bX).
- Affermazioni Vero/Falso:
- Verifica di proprietà di aspettativa e varianza per somme di variabili: E(X+Y) = E(X)+E(Y) è sempre vero, mentre formulazioni come E(X+Y)+Cov(X,Y) sono errate. Var(X+Y) = V(X)+V(Y) vale solo per variabili indipendenti o incorrelate.
- Condizioni di un esperimento binomiale (es. probabilità di successo costante, non necessariamente 0.5).
- Relazione tra coefficiente di correlazione nullo e assenza di relazione lineare.
- Proprietà della distribuzione uniforme (media e mediana coincidenti).
- Impatto della deviazione standard (σ) sulla forma della distribuzione normale (es. un incremento di σ rende la curva più piatta e larga).
- Corretta definizione di indipendenza tramite probabilità condizionata (P(y|x) = P(y)).
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20 carte di ripasso sul programma ufficiale dell'insegnamento. Prova le prime:
Definisci la probabilità secondo l'impostazione classica e spiegane il limite principale. Gira la carta
Nell'impostazione classica (di Laplace) la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili, purché tutti gli esiti siano equiprobabili. Il limite principale è proprio questo presupposto: la definizione è applicabile solo se gli esiti sono equiprobabili, e rischia quindi di essere circolare quando non lo sono.
Enuncia gli assiomi di Kolmogorov della probabilità. Gira la carta
Dato uno spazio campionario Ω, una funzione di probabilità P associa a ogni evento un numero tale che: P(A) è non negativa; P(Ω)=1; per eventi a due a due incompatibili la probabilità dell'unione è la somma delle probabilità. Da questi assiomi discendono le proprietà elementari, come P(A^c)=1-P(A).
Che cos'è la probabilità condizionata e qual è il teorema di Bayes? Gira la carta
La probabilità condizionata P(A|B) è la probabilità di A sapendo che B si è verificato, e si calcola come P(A∩B)/P(B) con P(B)>0. Il teorema di Bayes esprime P(A|B) come P(B|A)P(A)/P(B), ed è usato per aggiornare una probabilità alla luce di una nuova informazione.
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Di cosa parla l'insegnamento
STATISTICA · 1° anno · 9 CFU · STAT-01/A
Possedere una base teorico concettuale piuttosto ampia, anche se matematicamente poco formalizzata, ed una sufficiente dimestichezza con le tecniche fondamentali di rilevazione e di elaborazione dei dati. Al termine del corso, lo studente avrà sviluppato le seguenti competenze declinate secondo i Descrittori di…