Compiti ed esercitazioni VERIFICATO
esercizi per corso Analisi 1 prof.Pata
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Di cosa parla
- Completare ciascuna frase scegliendo fra convergente, divergente o indeterminata: La serie \(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\log n^4}\) è ..., la serie \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+8}{(n^2!n+6)}\) è ..., e la serie \(\sum_{n=0}^{\infty} (-2)^n\) è ...
- Dare le definizioni di successione divergente, serie convergente, serie assolutamente convergente. Dimostrare che una serie assolutamente convergente è convergente. Mostrare un esempio di serie convergente ma non assolutamente convergente. Discutere la convergenza di una successione limitata e stabilire se sia necessariamente convergente.
- Enunciare i teoremi di Lagrange, degli Zeri per le funzioni continue, Fondamentale del Calcolo Integrale, Fermat, Weierstrass. Dimostrare il Teorema di Weierstrass.
- Calcolare il sup e l'inf della funzione \(f(x) = \arctan\left(\frac{2x^2}{1-\log x}\right)\). Stabilire se siano massimo e minimo rispettivamente. Stabilire la convergenza di un integrale improprio al variare dei parametri reali \(a\) e \(b\). Calcolare il limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x - \sin x} \cdot \int_0^1 \frac{\cosht \log (1+t)}{t^2 + t} dt\).