Appunti VERIFICATO
continuità per corso prof.Pata
11 visualizzazioni
Nessun voto ancora
Di cosa parla
```markdown
# Teoremi Fondamentali sulle Funzioni Continue Definite in un Intervallo Chiuso e Limitato
## Teorema degli Zeri
Sia \( f : [a, b] \to \mathbb{R} \) una funzione continua tale che:
\[ f(a) < 0 \quad \text{e} \quad f(b) > 0 \]
Allora esiste almeno un punto \( c \in (a, b) \) tale che:
\[ f(c) = 0 \]
### Dimostrazione
1. Definiamo le successioni monotone:
- \( a_n = a + n\frac{b-a}{2^n} \)
- \( b_n = b - n\frac{b-a}{2^n} \)
2. Calcoliamo i valori della funzione in questi punti:
- \( f(a_1) < 0 \)
- \( f(b_1) > 0 \)
3. Iterando il processo, otteniamo successioni crescente e decrescente convergenti a un punto comune.
4. Applicando il Teorema delle Successioni Monotone Limitate:
- \( c = \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n \)
5. Conclusione:
- \( f(c) = 0 \)
## Teorema di Darboux (dei valori intermedi)
Sia \( f : [a, b] \to \mathbb{R} \) una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato. Allora per ogni valore \( y \) compreso tra \( f(a) \) e \( f(b) \), esiste almeno un punto \( c \in [a, b] \) tale che:
\[ f(c) = y \]
### Dimostrazione
1. Siano \( m = \min\{f(x) : x \in [a, b]\} \) e \( M = \max\{f(x) : x \in [a, b]\} \).
2. Per ogni \( y \in (m, M) \), esiste almeno un punto \( c \in [a, b] \) tale che:
- Se \( m < y < f(a) \)
- Scegliamo \( x_1 = a \) e \( x_2 = b \).
- Applichiamo il Teorema degli Zeri in \( [x_1, x_2] \).
3. Conclusione:
- \( f(c) = y \)
## Teorema di Weierstrass
Sia \( f : [a, b] \to \mathbb{R} \) una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato. Allora esistono punti \( c, d \in [a, b] \) tali che:
\[ f(c) = \min\{f(x) : x \in [a, b]\} \]
\[ f(d) = \max\{f(x) : x \in [a, b]\} \]
### Dimostrazione
1. Definiamo \( M = \sup\{f(x) : x \in [a, b]\} \).
2. Sia \( (c_n) \) una successione in \( [a, b] \) tale che:
- \( f(c_n) \to M \)
3. Applichiamo il Teorema delle Successioni Monotone Limitate a \( (c_n) \):
- Esiste un sottosequenza convergente a \( c \in [a, b] \).
4. Conclusione:
- \( f(c) = M \)
5. Analogamente per il minimo.
```