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esercizi per corso Analisi 1 prof.Pata

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Di cosa parla

Completare ciascuna frase scegliendo fra convergente, divergente o indeterminata: La serie $\sum_{n=2}^\infty \frac{n^2-1}{n^3\log n^3}$ è......
La serie $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(\log n)^2}$ è......
La serie $\sum_{n=2}^\infty \frac{n+\sin n}{n^2\sqrt{n}}$ è......
Enunciare il Teorema di Lagrange.
Enunciare il Teorema degli Zeri per le funzioni continue.
Enunciare il Teorema di Weierstrass per le funzioni continue.
Enunciare il Teorema di Fermat.
Dare la definizione di primitiva F di una funzione f definita su [a, b].
Se F e G sono due primitive di f su [a, b], che relazione c'è tra F e G (giustificare la risposta)?
Enunciare il Teorema Fondamentale del Calcolo.
Dimostrare il Teorema Fondamentale del Calcolo.
Dare la definizione di successione an limitata.
Dare la definizione di successione an convergente a un limite reale!
Esprimere in termini formali (cioè attraverso la definizione) il fatto che una successione an è infinitesima.
Sia data la funzione f(x)=e^x - e^{\sin x}. Mostrare che in un intorno di zero vale la relazione f(x) ≈ ax^3 con a>0, e calcolare il preciso valore di a.
Utilizzare il risultato precedente per stabilire, al variare del parametro $R, la convergenza dell'integrale improprio \int_1^\infty f(\sin x) # R(x+x^2)\ln(1+f(x^2)) dx
Calcolare i seguenti integrali indefiniti: 2.1 \int \frac{x^2}{x^2+2x+2} dx, 2.2 \int \frac{1}{\sin x} dx, 2.3 \int \arctan x dx

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