Compiti ed esercitazioni VERIFICATO
esercizi per corso Analisi 1 prof.Pata
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Di cosa parla
- Se una funzione è derivabile in un punto allora è di derivazione in quel punto
- Serie \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+7}{n^3+1}\) converge
- Se \(f\) è crescente su \([a, b]\), allora \(f\) è integrabile su \([a, b]\)
- Serie \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^2+1}\) converge
- Se \(f\) e \(g\) sono integrabili in \([a, b]\), allora il prodotto \(fg\) è integrabile in \([a, b]\)
- Teorema di Unicità del Limite per le successioni: se una successione converge, lo fa a un limite unico
- Versione del Teorema della Permanenza del Segno per le successioni: se una successione è positiva e tende a 0, allora esiste \(N\) tale che per tutti \(n > N\) la successione sia positiva
- Teorema di Rolle: se una funzione è continua su \([a, b]\), derivabile su \((a, b)\) e \(f(a) = f(b)\), allora esiste almeno un punto \(c \in (a, b)\) tale che \(f'(c) = 0\)
- Condizione Necessaria di Convergenza per le serie: se una serie converge, allora la successione dei termini della serie tende a 0
- Teorema di Weierstrass: ogni funzione continua su un intervallo chiuso e limitato ha massimo e minimo assoluti
- Teorema degli Zeri per le funzioni continue: se una funzione continua \(f\) soddisfa \(f(a) \cdot f(b) < 0\), allora esiste almeno un punto \(c \in (a, b)\) tale che \(f(c) = 0\)
- Definizione di primitiva: una funzione \(F\) è primitiva di \(f\) su \([a, b]\) se \(F'(x) = f(x)\) per ogni \(x \in [a, b]\)
- Tutte le primitive di \(f\) differiscono per una costante
- Teorema Fondamentale del Calcolo: se \(f\) è continua su \([a, b]\), allora la funzione definita da \(F(x) = \int_a^x f(t) dt\) è continua su \([a, b]\) e derivabile in ogni punto di \((a, b)\) con \(F'(x) = f(x)\)
- Dimostrazione del Teorema Fondamentale del Calcolo
- Esempio di funzione non continua per la quale il TFC si applica: funzione che è continua tranne in un punto e ha una primitiva continua
- Svolgimento dell'equazione \(x^3 - 3x + ! = 0\) per determinare le soluzioni reali distinte
- Carattere della serie \(\sum_{n=1}^{\infty} n^{2\#} (1 + \frac{1}{n^2})^{-\log n} (\frac{n+ \arctan(n^