Domande d'esame VERIFICATO
an_funz2019_appello1 esami corso prof: Bramanti
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Domande teoriche:
- Dimostrare che lo spazio \(C_0([a,b])\) con la norma integrale non è completo e che \(C_1([a,b])\) con la norma \(C_0\) non è completo.
- Spiegare il concetto di spazio di misura \((\Omega, M, \mu)\), definire sigma algebra e misura, fornire esempi di spazi di misura e enunciare il teorema dell'esistenza della misura di Lebesgue in \(\mathbb{R}^n\) con le sue proprietà.
- Definire la trasformata di Fourier in \(L_2\), dimostrare come definirla per funzioni in \(L_2(\mathbb{R}^n)\) utilizzando proprietà delle funzioni a decrescenza rapida.
- Enunciare il teorema sulle proprietà della trasformata di Fourier su \(S_0(\mathbb{R})\), dim
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- Dimostrare che lo spazio \(C_0([a,b])\) con la norma integrale non è completo e che lo spazio \(C_1([a,b])\) con la norma \(C_0\) non è completo, utilizzando esempi opportuni.
- Spiegare cosa significa uno spazio di misura \((\Omega,\mathcal{M},\mu)\), definendo i concetti coinvolti come sigma algebra e misura, fornire esempi di spazi di misura incontrati nel corso, e enunciare il teorema dell'esistenza della misura di Lebesgue in \(\mathbb{R}^n\) con le sue proprietà.
- Dimostrare come definire la trasformata di Fourier di una funzione \(L_2(\mathbb{R}^n)\) utilizzando il concetto di spazio delle funzioni a decrescenza rapida, e dimostrare relazioni relative alla derivata della trasformata e la trasformata della derivata.
- Stabilire verità o falsità di affermazioni su prodotti e convoluzioni di funzioni in \(L^p\) spazi, calcolare esplicitamente la convoluzione tra due funzioni specifiche, e calcolare la trasformata di Fourier di funzioni specifiche considerando le sue proprietà.
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