Domande d'esame VERIFICATO
an_funz2019_appello4 esami corso prof: Bramanti
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Risposte teoriche:
- Convergenza puntuale e uniforme: definizioni, teoremi di trasferimento delle proprietà al limite (con ipotesi di convergenza uniforme).
- Spazi \( L^p \) su spazio di misura astratto: definizione separata per \( p \in [1, +\infty) \), \( p = 1 \); proprietà principali e disuguaglianza di Hölder. Proprietà di \( L^p \) per \( p \in (0,1) \).
- Trasformata di Fourier: definizione, proprietà come operatore lineare continuo, trasformata della derivata, derivata della trasformata. Formula per la gaussiana e \( e^{-\alpha|x|^2} \).
Esercizi:
1. Funzione \( f(x) = \frac{x}{(x^2+i)(x^2-4i)} \):
- Proprietà trasformata di Fourier: dispa
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- Definire convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni, enunciare teoremi associati e fornire esempi che dimostrano la necessità dell'uniformità.
- Descrivere gli spazi \(L^p\) su uno spazio di misura astratto, con particolare attenzione alla disuguaglianza di Hölder, e discutere le proprietà degli spazi \(L^p\) per \(2 \leq p < \infty\).
- Dare la definizione della trasformata di Fourier di una funzione \(L^1(\mathbb{R}^n)\), enunciare sue proprietà, calcolarla per la gaussiana e derivare formule per funzioni simili.
- Calcolare la derivata distribuzionale di funzioni con punti angolosi o cuspidi, utilizzando definizione in \(D_0(\mathbb{R})\).
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