Domande d'esame VERIFICATO
an_funz_2017_appello2 esami corso prof: Bramanti
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Risposte teoriche:
- Definizione e proprietà degli spazi \(L^p(\mu)\) su uno spazio di misura astratto.
- Teoremi di convergenza uniforme e trasferimento di proprietà al limite.
- Problema di Sturm-Liouville regolare, autovalori e autofunzioni.
- Trasformata di Laplace: definizione, proprietà della convoluzione, teorema sulla derivata distribuzionale.
Esercizi:
1. Analisi dell'operatore \(T\) in \(L^p(R)\) e \(L^q(R)\).
2. Soluzione dell'equazione integrale di Volterra utilizzando trasformata di Laplace.
3. Calcolo della trasformata di Fourier per distribuzioni temperate.
Dettagli:
- Convergenza puntuale e uniforme, teoremi associati (esempi).
- Teor
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- Definire gli spazi \( L^p(\mu) \) su uno spazio di misura astratto e illustrare le loro proprietà principali (tra cui la disuguaglianza di Hölder), con dimostrazione delle relazioni di inclusione tra questi spazi quando il dominio ha misura finita.
- Enunciare ed enucleare il problema di Sturm-Liouville regolare, includendo le affermazioni sulle proprietà degli autovalori e autofunzioni (con dimostrazione della positività degli autovalori e dell'ortogonalità delle autofunzioni).
- Dimostrare la linearità e continuità dell'operatore \( T \) definito come \( Tf(x)=\int_{\mathbb{R}} e^{|x-y|} f(y) \frac{dy}{1+|y|} \) tra spazi \( L^p(\mathbb{R}) \) e \( L^q(\mathbb{R}) \), con \( 1/p + 1/q = 1 \), e verificare la continuità per \( p=1, q=1 \).
- Calcolare la trasformata di Fourier delle distribuzioni temperate \( S_1 = (x+1)^2 \sin(3x) \) e \( S_2 = \frac{(x+1)^2}{x^2 + 4} \), semplificando l'espressione ottenuta e separando la parte reale e immaginaria della trasformata.
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ELEMENTI DI ANALISI FUNZIONALE E TRASFORMATE · 3° anno · 2° semestre · 5 CFU · MATH-03/A
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