Domande d'esame VERIFICATO

an_funz_2017_appello2 esami corso prof: Bramanti

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Di cosa parla

Definire gli spazi \( L^p(\mu) \) su uno spazio di misura astratto e illustrare le loro proprietà principali (tra cui la disuguaglianza di Hölder), con dimostrazione delle relazioni di inclusione tra questi spazi quando il dominio ha misura finita.
Enunciare ed enucleare il problema di Sturm-Liouville regolare, includendo le affermazioni sulle proprietà degli autovalori e autofunzioni (con dimostrazione della positività degli autovalori e dell'ortogonalità delle autofunzioni).
Dimostrare la linearità e continuità dell'operatore \( T \) definito come \( Tf(x)=\int_{\mathbb{R}} e^{|x-y|} f(y) \frac{dy}{1+|y|} \) tra spazi \( L^p(\mathbb{R}) \) e \( L^q(\mathbb{R}) \), con \( 1/p + 1/q = 1 \), e verificare la continuità per \( p=1, q=1 \).
Calcolare la trasformata di Fourier delle distribuzioni temperate \( S_1 = (x+1)^2 \sin(3x) \) e \( S_2 = \frac{(x+1)^2}{x^2 + 4} \), semplificando l'espressione ottenuta e separando la parte reale e immaginaria della trasformata.

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