Domande d'esame VERIFICATO
an_funz_2017_appello4 esami corso prof: Bramanti
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Esame di Analisi Funzionale e Trasformate - A.A. 2016/2017
Domande teoriche (3 su 4 a scelta):
- Convoluzione in \( \mathbb{R}^n \) e sue proprietà in spazi \( L_p \)
- Proiezione su sottospazi di Hilbert
- Trasformata di Fourier e sue proprietà
- Spazio di distribuzioni \( D_0(\Omega) \)
Esercizi:
1. Dimostrare che un operatore è continuo in \( L^p \)
2. Risolvere un'equazione integro-differenziale utilizzando la trasformata di Laplace
3. Analizzare e calcolare risposte per un filtro con funzione di trasferimento data
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- Convoluzione di funzioni in \( \mathbb{R}^n \) e sue proprietà in spazi \( L_p \): definizione, risultati specifici per \( L_1(\mathbb{R}^n) \), estensione a \( L_p \), condizioni di esistenza.
- Spazio di Hilbert: teorema della proiezione su sottospazi finitamente dimensionalmente di uno spazio di Hilbert, enunciato e dimostrazione.
- Trasformata di Fourier: definizione per funzioni in \( L_1(\mathbb{R}^n) \), proprietà come operatore lineare continuo, trasformata della derivata, derivata della trasformata, trasformata della convoluzione, trasformata e dilatazioni, dimostrazione di due proprietà.
- Spazio delle distribuzioni \( D_0(\Omega) \): definizione, esempi di classi di distribuzioni, generalizzazione del concetto di funzione e misura.
- Esercizio 1: continuità dell'operatore \( T \) da \( L^p(\mathbb{R}) \) a \( L^p(\mathbb{R}) \), calcolo esplicito della norma dell'operatore.
- Esercizio 2: risoluzione di un'equazione integro-differenziale di un circuito LC utilizzando la trasformata di Laplace, determinazione della soluzione generica.
- Esercizio 3: calcolo della risposta in ampiezza e all’impulso del filtro con funzione di trasferimento \( H(\omega) \), determinazione se il filtro è causale, passa-basso o passa-alto, calcolo dell'uscita per un ingresso specifico.
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ELEMENTI DI ANALISI FUNZIONALE E TRASFORMATE · 3° anno · 2° semestre · 5 CFU · MATH-03/A
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