Domande d'esame VERIFICATO

an_funz_2017_appello4 esami corso prof: Bramanti

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Di cosa parla

Convoluzione di funzioni in \( \mathbb{R}^n \) e sue proprietà in spazi \( L_p \): definizione, risultati specifici per \( L_1(\mathbb{R}^n) \), estensione a \( L_p \), condizioni di esistenza.
Spazio di Hilbert: teorema della proiezione su sottospazi finitamente dimensionalmente di uno spazio di Hilbert, enunciato e dimostrazione.
Trasformata di Fourier: definizione per funzioni in \( L_1(\mathbb{R}^n) \), proprietà come operatore lineare continuo, trasformata della derivata, derivata della trasformata, trasformata della convoluzione, trasformata e dilatazioni, dimostrazione di due proprietà.
Spazio delle distribuzioni \( D_0(\Omega) \): definizione, esempi di classi di distribuzioni, generalizzazione del concetto di funzione e misura.
Esercizio 1: continuità dell'operatore \( T \) da \( L^p(\mathbb{R}) \) a \( L^p(\mathbb{R}) \), calcolo esplicito della norma dell'operatore.
Esercizio 2: risoluzione di un'equazione integro-differenziale di un circuito LC utilizzando la trasformata di Laplace, determinazione della soluzione generica.
Esercizio 3: calcolo della risposta in ampiezza e all’impulso del filtro con funzione di trasferimento \( H(\omega) \), determinazione se il filtro è causale, passa-basso o passa-alto, calcolo dell'uscita per un ingresso specifico.

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