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esercizi corso prof: Bramanti
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Spazi di funzioni derivabili: norma naturale in \(C^1[a, b]\). Problemi con lo spazio delle funzioni continue su \(\mathbb{R}\) e delle funzioni derivabili infinite volte su \([a, b]\). Scelte non ottimali per gli spazi di funzioni Riemann integrabili. Necessità di \(\sigma\)-algebra in misura di Lebesgue e concetto di funzione misurabile. Differenza tra insiemi numerabili e non numerabili, con esempi come l'insieme ternario di Cantor e il suo generalizzato. Esempi di insiemi non Lebesgue misurabili.
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- Perché in C1[a, b] non è una buona idea mettere la norma C0 o k f' kC0? Qual è la norma naturale da usare?
- C'è qualche problema nel studiare lo spazio delle funzioni continue su tutto R? Come si può risolvere questo problema?
- C'è qualche problema nel studiare lo spazio delle funzioni derivabili infinite volte su [a, b]? Perché non è una buona scelta considerare lo spazio delle funzioni Riemann integrabili con la norma C0 o la norma integrale?
- Che concetti sono necessari introdurre per la teoria della misura di Lebesgue, come l'σ-algebra e il concetto di funzione misurabile? Perché la numerabile additività è ragionevole ma non l'additività rispetto a unioni infinite?
- Per approfondire, esistono esempi interessanti come l'insieme ternario di Cantor e il suo generalizzato, che possono aiutare a comprendere insiemi non numerabili con misura nulla o positiva. Si consiglia anche di studiare un esempio di insieme non Lebesgue misurabile.
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ELEMENTI DI ANALISI FUNZIONALE E TRASFORMATE · 3° anno · 2° semestre · 5 CFU · MATH-03/A
Obiettivo del corso è fornire allo studente importanti strumenti matematici operativi ampiamente utilizzati in altri corsi, dandone al tempo stesso i fondamenti matematici rigorosi, necessari per un loro uso critico e consapevole. Gli strumenti operativi che costituiscono il contenuto qualificante del corso sono: la…
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