Domande d'esame VERIFICATO
an_funz_2017_appello1 esami corso prof: Bramanti
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Risposte teoriche:
- Derivabilità limite: enunciato e dimostrazione del teorema, controesempi. Completezza dello spazio \(C^1([a,b])\) con norma opportuna.
- Teorema di Pitagora in spazi vettoriali e versione per Hilbert.
- Proprietà trasformata di Laplace: primitiva, derivata, derivata n-esima.
- Formule di derivazione per traslata, dilatata, riflessa e prodotto di distribuzioni.
Esercizi:
1. Convergenza puntuale, uniforme e in \(L^1\).
2. Trasformata di Fourier: spazio funzionale, regolarità, comportamento all'infinito.
3. Derivate di distribuzioni: calcolo esplicito, derivata distribuzionale di funzioni a tratti con discontinuità e punti angolosi.
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- Domande di teoria: rispondere a 3 domande su 4, tra cui esaminare il teorema sulla derivabilità del limite di una successione di funzioni derivabili e la completezza dello spazio \(C^1([a,b])\); enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora in spazi vettoriali con prodotto scalare e la sua versione per uno spazio di Hilbert; esaminare proprietà della trasformata di Laplace della primitiva, derivata ed \(n\)-esima derivata di una funzione; enunciare formule di derivazione per traslata, dilatata, riflessa e prodotto di distribuzioni.
- Esercizi: calcolare il limite puntuale e la convergenza uniforme di \(f_n(x) = \frac{n\sin(\frac{x}{n})}{1+x}\); calcolare la trasformata di Fourier di \(f(x) = \frac{1}{(x^2 + 2x + 5)^2}\), stabilire le proprietà della sua trasformata e calcolarla con il metodo dei residui; calcolare derivata distribuzionale in \(D_0(\mathbb{R})\) di \(f(x) = \frac{\sin x}{x}\) e la sua derivata distribuzionale.
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