Domande d'esame VERIFICATO
an_funz2019_appello2 esami corso prof: Bramanti
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Riassunto:
- Teorema continuità limite uniforme funzioni continue: enunciato e dimostrazione con controesempi.
- Teoremi integrale Lebesgue: continuità integrale dipendente parametro, derivazione sotto segno integrale; esempi applicativi.
- Trasformata Fourier: definizione, proprietà (lineare continuo, trasformata derivata, convoluzione, dilatazioni); calcolo per funzioni specifiche.
- Circuiti LR: metodo Laplace, soluzioni con tensione discontinua.
- Funzione complessa: proprietà, calcolo trasformata Fourier.
- Distribuzione temperata: calcolo trasformata Fourier delta Dirac, esponenziale, seno, coseno, funzioni potenza.
- Soluzioni esercizi: corren
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- Enunciare e dimostrare il teorema sulla continuità del limite uniforme di funzioni continue, mostrando i controesempi necessari.
- Nel contesto dell'integrale di Lebesgue, enunciare e dimostrare i teoremi sulla continuità di un integrale dipendente da un parametro e la derivazione sotto il segno di integrale per un integrale dipendente da un parametro, con esempi significativi.
- Dare la definizione di trasformata di Fourier di una funzione \(L^1(\mathbb{R}^n)\), enunciare le sue proprietà riguardo alla trasformata come operatore lineare continuo tra opportuni spazi, trasformata della derivata, derivata della trasformata, trasformata della convoluzione e trasformata e dilatazioni.
- Dimostrare i calcoli dettagliati delle trasformate di Fourier per delta di Dirac, esponenziale complesso, funzioni seno e coseno, funzione \(x^k\) (considerando il caso unidimensionale).
- Sviluppare l'equazione differenziale di un circuito LR in serie utilizzando la trasformata di Laplace, calcolare la corrente \(i(t)\) per tensioni v(t) Laplace trasformabili e analizzare la regolarità di \(i(t)\) in base alla natura della funzione v(t).
- Calcolare la trasformata di Fourier di una funzione specifica, analizzando le sue proprietà e calcolando il prodotto con la trasformata di un'altro operatore.
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