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complementi_verifica_def_distribuzione per corso prof: Bramanti
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Per verificare che un funzionale lineare sia una distribuzione o una distribuzione temperata, si utilizzano criteri basati sulla continuità. Per le distribuzioni su \(\mathbb{R}\), se \(T:D(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}\) è lineare e per ogni sequenza \(\phi_j \to 0\) in \(D(\mathbb{R})\) si ha \(T\phi_j \to 0\), allora \(T\) è una distribuzione. Per le distribuzioni temperate su \(\mathbb{R}\), se esistono costanti \(c, N, n\) tali che \(|T\phi| \leq c p(N)(n)(\phi)\) per ogni \(\phi \in S(\mathbb{R})\), allora \(T\) è una distribuzione temperata. Esempi includono il treno di impulsi e funzioni in \(L^p\).
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- Per verificare che un funzionale lineare sia una distribuzione o una distribuzione temperata, si utilizza il criterio di continuità.
- Nel caso delle distribuzioni su \(\mathbb{R}\), se per ogni intervallo \([N,N]\) esistono costanti \(c>0\) e un intero \(n\geq 0\) tali che per ogni \(\phi \in D(\mathbb{R})\) con \(\text{supp}(\phi) \subset [N,N]\) si abbia \(|hT,\phi i| \leq c k\phi_k^C_{[N,N]}\), allora \(T \in D_0(\mathbb{R})\).
- Nel caso delle distribuzioni temperate su \(\mathbb{R}\), se esistono interi \(n\) e \(N > 0\) e una costante \(c>0\) tali che per ogni \(\phi \in S(\mathbb{R})\) si abbia \(|hT,\phi i| \leq c p_N^n(\phi)\), allora \(T \in S_0(\mathbb{R})\).
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